DER BRUSTUMFANG ALS ERSATZWAAGE BEIM RIND Ein Beispiel angewandter Mathematik von Christian Strutz und Eugen Hümmer

Vielfach ist keine andere Nutzung der Landschaft möglich als durch Weide. Dies trifft für weite Flächen in der Dritten Welt zu. Traditionsgemäß richtet sich dort das soziale Ansehen eines Züchters nach der Anzahl seiner Tiere. In der Sahel-Zone zum Beispiel wird häufig der Brautpreis mit einer bestimmten Anzahl von Tieren abgegolten. Oft führt jedoch die Überbewertung der Tierzahl durch zu viele unproduktive Tiere zu Überweidung. Die Folge ist Verkarstung und Umweltzerstörung.

Das Beachten der Gewichtszunahme jedes einzelnen Tieres ist dagegen ein erster Schritt in Richtung wirtschaftlicher Tierhaltung. Sowohl der soziale Druck auf den Züchter als auch der ökologische Druck auf die Umwelt wird geringer, wenn weniger die Tierzahl als vielmehr die Leistung der einzelnen Tiere die entscheidende Rolle spielt.

Folglich müssen die Gewichtsveränderungen bei möglichst allen heranwachsenden Tieren gemessen, die Ergebnisse verglichen und die besten Tiere auswählt werden. Eine Viehwaage ist für fast alle Tierhalter der Dritten Welt zu teuer. Deshalb ist ein Hilfsmittel notwendig, welches das Gewicht möglichst genau und möglichst billig schätzen kann.

In Europa und Nordamerika verwendet man schon seit langem den Brustumfang als Schätzwert für das Gewicht von Rindern. Spezielle Maßbänder, je nach Rasse und Alter der Tiere, wurden hierfür entwickelt. Die in den Tropen vorkommenden Zebu-Rassen und deren Kreuzungen wurden aber wenig berücksichtigt, obwohl diese Meßmethode den mittellosen Züchtern der Dritten Welt die Möglichkeit gäbe, fast kostenlos den Wert ihrer Tiere zu schätzen.

In einem Entwicklungsprojekt in Kolumbien wurde deshalb der Versuch unternommen, die Schätzfunktionen für die dortige Rinderpopulation zu erstellen. Zur Aufstellung einer Funktion zwischen dem Brustumfang in cm, also der Unabhängigen Variablen U , und dem Gewicht in kg, der Abhängigen Variablen G , müssen bei vielen Tieren die Wertepaare dieser Variablen gemessen werden. Die Schätzfunktion wird um so sicherer, je mehr Tiere in diese Meßreihe eingehen. Ausserdem sollten die Tiere einer weitgehend einheitlichen Rassen-, Geschlechts- und Altersgruppe zugehören. Die statistische Auswertung der Messwerte ist nur dann gültig, wenn die Daten gleichmässig verteilt sind und wenn sich die Beziehung zwischen dem Gewicht und dem Brustumfang durch eine gerade Linie beschreiben lässt, die in der Statistik Regressionsgerade heißt:

G = a + b * U

Die Konstante a bestimmt den Achsenabschnitt auf der y-Achse. Die Steigung der Geraden ist durch b = tan a festgelegt. Durch b wird ausgedrückt, wieviel kg Gewicht einem cm Brustumfang entsprechen. In der Statistik wird b als Regressionskoeffizient bezeichnet (Abb.1).

Wenn aber die Daten weder gleichverteilt noch linear sind, wie aus den Messdaten in der Abbildung 2 ersichtlich ist, so müssen die Daten solange transformiert werden, bis sie dem linearen statistischen Modell entsprechen. Die Art der Transformation sollte aber durch eine theoretische Begründung gerechtfertigt sein.

Schon die Verteilung der Wertepaare in der Abbildung 2 läßt vermuten, daß der Schätzfunktion eine Krümmung zugrunde legt. Teilt man die Wertepaare der gemessenen und gewogenen Tiere in Gewichtsgruppen ein, wie dargestellt in der Tabelle 1, so bestätigt sich diese Vermutung: Je höher das Durchschnittsgewicht desto höher ist der Regressionskoeffizient, das heißt desto mehr Kilogramm entsprechen einem Zentimeter Brustumfang.

Für die Praxis bedeutet das, daß die lineare Funktion nur für bestimmte Messbereiche gilt: ab Geburt bis 50 kg, dann bis 150 kg usw., was unterschiedliche Maßbänder oder Tabellen erforderlich machen würde. Viel praktischer wäre es aber, eine einheitliche Funktion über alle Messbereiche hinweg zu besitzen.
 
 

Die Frage ist nun, ob hinter dieser beobachteten und statistisch nachgewiesenen Krümmung der Schätzfunktion eine natürliche Gesetzmäßigkeit steckt, die wir unter Zuhilfenahme von Schulwissen und Nachdenken "entdecken" können.

Denken wir uns beim Rind den Kopf und die Beine weg, so sieht der Rumpf mit viel Abstraktion, kubistischer Phantasie und wider besseres Wissen einem Zylinder ähnlich, bestehend aus zwei kreisförmigen "Deckeln" und einer zum Rohr gerollten viereckigen Fläche. Typ: "Schaukelpferd".

Die Aufgabe besteht nun darin, die Beziehung zwischen Umfang und Volumen eines Zylinders zu formulieren. Multiplizieren wir dann das Volumen mit dem Spezifischen Gewicht des Rindes, so ergibt sich daraus sein Gewicht.

Für die Kreisfläche gilt:

F = r² * p ;

wobei wir den Radius r durch den Umfang U ausdrücken wollen:

U = 2 * r * p ;

r = U / 2p ;

F = (U / 2p)² * p ;

F = U²/ 4p

Auch die Länge L des (Tier)zylinders muß in einem Verhältnis zum Radius - und somit zum Umfang - des Tier-Rumpfes stehen:

L = c * r ;

wobei c eine Konstante ist, die dem Tierkörper seine naturgegebene Form verleiht. Wiederum augedrückt mit U ergibt dies:

L = c * U / 2p ;

Das Volumen V des Zylinders als Grundfläche F mal Länge L ergibt dann:

V = U² / 4p * c * U / 2p ;

V = c / 8p² * U³ ;

Wenn nun noch a als Konstante den Ausdruck c / 8p² ersetzt, so ergibt sich die einfache Beziehung:

V = a * U³

Demnach ist das Volumen und somit auch das Gewicht eines Tier-Rumpfes ungefähr der dritten Potenz seines Umfangs proportional. Dies bedeutet, daß die Beziehung zwischen den beiden Variablen von der Theorie her nicht linear sein kann sondern nur durch eine gekrümmte Kurve darstellbar ist

Transformiert man die Daten beider Variablen in ihren Natürlichen Logarithmus, so wird die Potenzfunktion linear:

lnV = lna + 3 * lnU ;

Hierbei übernimmt der Exponent 3 die Rolle des Regressionskoeffizienten und kann deshalb durch das Symbol b ersetzt werden.

lnV = lna + b * lnU

Damit kommt zum Ausdruck, daß b erst durch die Analyse der transformierten Daten bestimmt werden kann und nicht unbedingt genau den Wert von 3 annehmen muß.
 
 

Die Abbildung 3 zeigt die ln-transformierten und somit linearisierten Wertepaare. Aus der Regressionsanalyse dieser Daten ergeben sich die Parameter: ln a = -9.19 und b = 2.94, bei einem Bestimmtheitsmaß von B = 92 Prozent. Dies bedeutet, daß 92 Prozent der Variation des Gewichtes durch die Variation des Brustumfangs erklärt werden kann. Die Schätzformel lautet demnach:

lnG = -9.19 + 2.94 * lnU ;

Die Rücktransformation ergibt zunächst eine e-Funktion:

G = e^{-9.19 + 2.94 * lnU} ;

G = e^-9.19 * e^{2.94 * lnU} ;

wobei e^-9.19 = 0.000102;

und e^lnU = U ;

und dann die Potenzfunktion:

G = 0.000102 * U^2.94

Die gekrümmte Kurve, die diese Funktion darstellt, ist bereits als durchgehende Linie in der Abbildung 2 zu sehen. Es gibt also eine Schätzformel, die den gesamten Messbereich der Brustumfangsmessungen abdeckt.

Die Form der Kurve zeigt, dass sie der theoretisch postulierten Funktion sehr ähnlich ist. Somit sind wir tatsächlich in der Lage, Graphiken und Umrechnungstabellen zu erstellen, die den Tierzüchtern nützlich sind. Immerhin kostet eine Viehwaage ca 1500 US Dollar.
 
 

ANHANG 1
Die Umformungen vereinfachen den Rechengang und vermeiden Rundungsfehler.
Ein Beispiel: Es soll der Zusammenhang zwischen vier paarweise gemessenen x- und y-Werten berechnet werden.

SQ_x = 120 - (20)²/4 = 20; SQ_y = 110 - (20)²/4 = 10; SP_xy = 110 - 20*20/4 = 10

B = 10²/(20*10) = 0.5; b = 10/20 = 0.5
 
 

ANHANG 2
Messdaten, Berechnungen der Parameter mit LOTUS 1-2-3
cm kg Funktion ln cm ln kg ln Funktion
115 128 117 5.19 6.12 6.06
134 190 183 5.21 6.11 6.13
134 175 183 5.13 6.05 5.89
135 185 187 5.23 6.23 6.19
135 193 187 5.15 6.06 5.94
137 203 195 5.12 6.09 5.86
138 198 199 5.12 5.93 5.86
140 208 208 5.18 6.13 6.03
140 205 208 5.12 5.92 5.86
140 180 208 5.15 5.98 5.96
140 240 208 5.14 5.97 5.93
140 205 208 5.16 5.89 5.98
141 213 212 5.15 6.08 5.96
141 198 212 5.19 6.02 6.06
142 200 217 5.19 6.02 6.06
142 218 217 5.07 5.72 5.71
143 243 221 5.16 5.99 5.98
143 240 221 5.11 5.87 5.84
145 233 231 5.12 5.95 5.87
145 215 231 5.03 5.62 5.60
145 233 231 5.11 5.87 5.84
148 223 245 5.16 5.93 5.99
148 238 245 5.13 5.96 5.89
148 230 245 5.11 5.95 5.82
150 283 255 5.14 5.98 5.93
150 278 255 5.12 5.98 5.86
151 275 260 5.09 5.84 5.77
152 273 265 5.18 6.04 6.04
153 240 270 5.14 5.94 5.93
153 275 270 5.11 5.92 5.82
154 263 275 5.08 5.79 5.73
155 303 281 4.94 5.48 5.34
155 248 281 5.15 5.75 5.94
155 333 281 5.02 5.62 5.56
155 268 281 5.04 5.51 5.64
156 310 286 5.08 5.76 5.73
158 283 297 4.94 5.19 5.34
158 260 297 4.96 5.48 5.40
159 306 302 5.00 5.47 5.50
160 298 308 5.00 5.41 5.50
160 290 308 5.21 6.09 6.14
160 328 308 5.19 5.78 6.08
160 318 308 4.96 5.38 5.38
160 318 308 5.08 5.67 5.73
160 323 308 5.09 5.74 5.77
161 285 314 5.14 5.88 5.91
162 310 320 5.11 5.73 5.84
162 345 320 5.04 5.71 5.64
162 265 320 4.98 5.37 5.44
163 320 325 5.11 5.75 5.82
165 382 337 5.08 5.76 5.73
165 373 337 4.96 5.30 5.38
165 313 337 5.01 5.63 5.54
166 308 343 5.12 5.63 5.86
166 354 343 4.93 5.29 5.30
166 354 343 5.09 5.58 5.77
167 280 349 4.98 5.45 5.44
167 395 349 5.04 5.59 5.64
167 376 349 5.00 5.44 5.50
167 371 349 4.92 5.31 5.27
167 443 349 5.06 5.65 5.69
167 318 349 5.14 5.83 5.91
168 383 356 5.05 5.74 5.66
169 424 362 5.03 5.48 5.60
169 387 362 5.06 5.56 5.69
170 358 368 5.08 5.78 5.73
170 340 368 5.08 5.70 5.73
171 394 375 5.04 5.81 5.64
171 391 375 4.94 5.34 5.34
171 380 375 4.96 5.49 5.40
172 429 381 5.21 6.16 6.13
172 313 381 4.90 5.16 5.21
173 396 388 5.08 5.65 5.75
173 435 388 5.16 5.86 5.99
174 400 394 5.27 6.35 6.30
174 362 394 5.04 5.57 5.62
175 350 401 5.02 5.61 5.58
175 378 401 5.01 5.65 5.54
177 459 415 5.12 5.76 5.86
178 421 422 4.95 5.29 5.36
179 412 429 4.95 5.36 5.36
179 454 429 5.32 6.54 6.46
179 410 429 5.27 6.30 6.31
180 323 436 5.21 6.25 6.13
182 455 450 5.22 6.18 6.16
183 518 457 5.20 6.12 6.11
183 475 457 4.74 4.85 4.76
183 452 457 4.98 5.45 5.44
184 440 465 4.91 5.26 5.23
185 483 472 4.91 5.22 5.23
187 509 487 5.09 5.77 5.79
194 573 543 4.90 5.25 5.21
195 545 551 4.94 5.32 5.34
205 690 638 4.94 5.32 5.34
Regression Output: LN-Transformed
Constant -9.19 Achsenabschnitt a
R Squared 0.92 Bestimmtheitsmaß B
No. of Observations 94 Anzahl der Messungen
Degrees of Freedom 92 Freiheitsgrade

X Coefficient(s) 2.94 Regressionskoeffizient b
 
 

  Dr. Christian Strutz, Steigstr. 26 D-88131 LINDAU
Lindau, März 1999

Homepage Dr.Christian Strutz
Über Fragen und Kritik freut sich der Autor : email Strutz_Christian@t-online.de

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